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Le chauffage, c’est agréable ! Mais c’est aussi une dépense énergétique importante. Bien souvent, nous en venons à nous demander comment économiser cette énergie. Par exemple, lorsque nous quittons notre logement pour une courte durée. Couper le chauffage permettrait d’économiser un peu d’énergie mais pendant ce temps, le logement se refroidirait. Il faudrait alors consommer beaucoup d’énergie pour réhausser la température à notre retour.
La question naturelle qui vient alors est de savoir si l’économie de chauffage est suffisamment importante face à l’énergie supplémentaire requise pour réchauffer le logement.
Vous êtes donc curieux et doutez peut-être du résultat mis en avant dans cet article SPLAC. Effectivement, décrire un cas pour lequel couper le chauffage est plus pertinent ne prouve pas que c’est toujours la meilleure solution.
Il est vrai que le système comporte beaucoup de variables et qu’il n’est pas évident de s’assurer que c’est toujours le cas. Dans ce nouvel article, je vous propose une présentation du modèle numérique créé pour l’occasion. Attention, c’est un peu technique.
Une fois les équations posées nous jetterons un œil à ce que je tiens pour preuve qu’il sera toujours préférable de couper son chauffage pour faire des économies.
Aller, c’est parti !
Généralités et hypothèses
Le modèle développé a pour but de calculer la température intérieure d’une pièce à vivre pour en déduire l’énergie nécessaire à son chauffage.
Pour cela, il y a trois cas à considérer.
- Cas 1 : Le chauffage. La pièce est plus froide que la température cible, il faut chauffer la pièce pour en augmenter la température.
- Cas 2 : Le maintien. La pièce est à température cible, le chauffage doit compenser les pertes thermiques.
- Cas 3 : Le refroidissement. Le chauffage est éteint et la température de la pièce chute jusqu’à égaler la température extérieure.
Supposons une maison composée d’une pièce unique. Un système permet de chauffer uniformément toute la pièce.
- La pièce a une température homogène donc identique en tout point de l’espace à chaque instant.
- Sont considérées une masse volumique et une capacité thermique représentatives de l’ensemble « air + murs » de la pièce. Ces valeurs sont constantes dans le temps et l’espace.
- Tout échange thermique entre la pièce et le milieu extérieur a lieu par convection.
- Lors des phases de chauffe, le radiateur consomme une puissance de chauffe, Pc constante. Dès que la température cible Tc est atteinte, la puissance de chauffe se réduit à Pm, la puissance constante de maintien en température.
Equations
Afin de mettre en équation ce problème, l’équation de la chaleur est utilisée. Il s’agit en fait d’un bilan énergétique appliqué à la pièce.
En appliquant ce bilan énergétique, il est possible d’obtenir les 3 équations décrivant l’évolution de la température dans la pièce pour les 3 cas évoqués plus haut : chauffage, maintien en température, refroidissement.
La résolution de l’équation de la chaleur dans ces 3 cas est présentée dans un document manuscrit et téléchargeable ici.
Information importante pour la suite : notons que le jeu de paramètres influant sur l’évolution de la température dans la pièce est le suivant :
- Température extérieure
- Température cible
- Puissance du chauffage
- Masse et capacité calorifique de l’ensemble air plus pièce
- Surface du volume de la pièce
- Coefficient d’échange convectif avec l’extérieur
Exploitation du modèle
Les équations ainsi obtenues permettent de tracer l’évolution de la température de la pièce considérée dans un tableur Excel. Plusieurs scénarios peuvent être imaginés, calculés, tracés et comparés. C’est un moyen particulièrement économique et rapide de mener plusieurs expériences théoriques qui sont ensuite comparables.
A titre d’exemple, imaginons un scénario de chauffage d’une pièce jusqu’à la température cible de 20 °C avec un radiateur de 2000 W. La température y est ensuite maintenue pendant 8 heures avec une puissance de 750 W. Enfin, la pièce se refroidie jusqu’à égaler la température extérieure qui est de 10 °C. Le graphique suivant illustre ce scénario.
A ce type de scénario simple, il est possible d’ajouter une coupure brève de chauffage, pendant 1 heure par exemple. Voici à quoi ressemblerait l’évolution de la température.
Un autre scénario peut être envisagé, il s’agirait de régler le chauffage sur une température de consigne plus basse au milieu du scénario. En voici une illustration.
Simuler pour prouver
Une fois ce modèle mathématique mis en place et les illustrations obtenues, il est temps de réduire la problématique. Commençons par ne considérer qu’une petite fenêtre temporelle comme celle présentée sur la figure suivante.
Ce zoom permet de confronter les deux scénarios intéressants. D’un côté le maintien de la pièce à température constante (Scénario 1). De l’autre, un chauffage coupé, engendrant une chute de température puis un chauffage rallumé pour réatteindre la température cible (Scénario 2).
L’objectif est de comparer l’énergie « Em » dépensée lors d’un maintien (scénario 1) à l’énergie « Ec » dépensée lors d’une coupure de chauffage (scénario 2).
Mathématiquement, cela revient à chercher un jeu de paramètres tel que Em < Ec. Cette inégalité est très simple et peut être évaluée numériquement. Par exemple, pour différentes valeurs de puissances de chauffage (Pc), voici comment évoluent Em et Ec ainsi que leur différence.
Graphiquement, il apparait que l’inégalité n’est jamais vérifiée, quelle que soit la valeur de la puissance de chauffage Pc.
En ne considérant que la zone temporelle pendant laquelle les deux scénarios diffèrent, il est possible de transposer le questionnement en une autre inégalité mathématique : Q < R. Pour connaitre le détail de cette inégalité et comment l’obtenir, se référer à ce document.
Cette nouvelle inégalité est particulièrement intéressante car elle ne fait intervenir que peu de variables. Uniquement les températures clés du système, la puissance du chauffage, le coefficient convectif et la surface d’échange.
En plus des illustrations, le second intérêt du modèle est de pouvoir simuler une multitude de configurations avec des paramètres différents. Ainsi, bien qu’il soit probablement possible de démontrer mathématiquement que cette inégalité ne se vérifie jamais, il est possible de comparer graphiquement Q et R pour une multitude de paramètres différents.
A titre d’exemple, le graphique suivant montre bien que pour toute valeur de Pc, l’inégalité n’est jamais vérifiée.
Conclusion/Résumé
Dans la limite des hypothèses énoncées, le modèle numérique créé permet de visualiser l’évolution de la température dans une pièce données.
Bien que mathématiquement compliqué, le modèle permet de montrer graphiquement qu’il n’existe aucun cas pour lequel maintenir un chauffage allumé est plus sobre énergétiquement que de le couper.
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